Quanta-Magazin

5. Juni 2023

Maggie Chiang für Quanta Magazine

Mitwirkender Autor

5. Juni 2023

Mathematiker freuen sich, wenn sie beweisen, dass scheinbar unmögliche Dinge existieren. Dies ist der Fall bei einem neuen Beweis, der im März von Cédric Pilatte, einem Doktoranden im ersten Jahr an der Universität Oxford, online gestellt wurde.

Pilatte hat bewiesen, dass es möglich ist, eine Menge – eine Sammlung von Zahlen – zu erstellen, die zwei scheinbar inkompatible Eigenschaften erfüllt. Das erste ist, dass keine zwei Zahlenpaare in der Menge die gleiche Summe ergeben. Addieren Sie beispielsweise zwei beliebige Zahlen in {1, 3, 5, 11} und Sie erhalten immer eine eindeutige Zahl. Es ist einfach, kleine „Sidon“-Mengen wie diese zu konstruieren, aber mit zunehmender Anzahl der Elemente steigt auch die Wahrscheinlichkeit, dass die Summen übereinstimmen, wodurch die Sidon-Qualität der Menge zerstört wird.

Die zweite Anforderung besteht darin, dass die Menge sehr groß sein muss. Sie muss unendlich sein, und Sie sollten in der Lage sein, jede ausreichend große Zahl zu erzeugen, indem Sie höchstens drei Zahlen in der Menge addieren. Diese Eigenschaft, die die Menge zu einer „asymptotischen Basis der Ordnung 3“ macht, erfordert eine große, dichte Menge von Zahlen. „Sie ziehen in entgegengesetzte Richtungen“, sagte Pilatte. „Sidon-Mengen müssen klein sein, und eine asymptotische Basis muss groß sein. Es war nicht offensichtlich, dass es funktionieren könnte.“

Die Frage, ob eine solche Menge existiert, beschäftigt sich seit Jahrzehnten, seit sie 1993 vom produktiven ungarischen Mathematiker Paul Erdős und zwei Mitarbeitern gestellt wurde. Erdős‘ Faszination für Sidon-Mengen lässt sich auf ein Gespräch zurückführen, das er 1932 mit ihrem Erfinder führte Simon Sidon, der damals daran interessiert war, die Wachstumsrate dieser Sets zu verstehen. (Erdős beschrieb Sidon später als „verrückter als der durchschnittliche Mathematiker“, was er mit ziemlicher Sicherheit als Kompliment meinte.)

Sidon-Mengen kommen in einer Vielzahl mathematischer Kontexte vor, darunter in der Zahlentheorie, der Kombinatorik, der harmonischen Analyse und der Kryptographie, aber die einfache Frage, wie groß sie werden können, war ein bleibendes Rätsel, über das Erdős während eines Großteils seiner Karriere nachdachte. Erdős erkannte schon früh, dass Sidon-Sets extrem schwer zu skalieren sind. 1941 bewiesen er und ein anderer Mathematiker, dass die größtmögliche Sidon-Menge, deren Mitglieder alle kleiner als eine ganze Zahl N sind, kleiner sein muss als die Quadratwurzel von N plus einen Term, der proportional zur vierten Wurzel von N wächst. (Bis 1969 Bernt Lindström würde zeigen, dass es kleiner ist als $latex \sqrt{N}+\sqrt[4]{N}+1$, und im Jahr 2021 verschärfte eine andere Gruppe von Mathematikern die Grenze auf $latex \sqrt{N}+0,998 \ mal \sqrt[4]{N}$.) Mit anderen Worten: Sidon-Mengen müssen dünnbesetzt sein.

Es ist seit langem bekannt, dass eine Sidon-Menge keine asymptotische Basis zweiter Ordnung sein kann, bei der jede ganze Zahl als Summe von höchstens zwei Zahlen ausgedrückt werden kann. (Die ungeraden Zahlen bilden zum Beispiel eine Grundlage für Ordnung 2.) Wie Pilatte erklärte, ist dies so einfach zu zeigen, dass Mathematiker sich nicht die Mühe machten, es aufzuschreiben: „Dass Ordnung 2 unmöglich ist, war wahrscheinlich schon viel früher bekannt.“ wurde ausdrücklich in der Literatur geschrieben.“ Er erklärte, dass dies daran liegt, dass „Sidon-Sequenzen eine bestimmte Dichte nicht überschreiten können, während asymptotische Basen der Ordnung 2 immer dichter als dieser Schwellenwert sind, sodass die beiden Eigenschaften nicht gleichzeitig gelten können.“

Es wurde allgemein angenommen, dass eine asymptotische Basis der Ordnung 3 aus einer Sidon-Menge konstruiert werden könnte, aber dies zu beweisen war eine andere Sache. „Die Leute glaubten, dass das wahr sein sollte“, sagte Pilatte-Berater James Maynard. „Aber es gab ein Problem mit den Techniken, die wir verwendeten.“

Bevor Pilatte die Herausforderung annahm, waren bereits einige Fortschritte erzielt worden. Im Jahr 2010 zeigte der ungarische Mathematiker Sándor Kiss, dass eine Sidon-Menge eine asymptotische Basis der Ordnung 5 sein kann – was bedeutet, dass jede ausreichend große ganze Zahl als Summe von höchstens fünf Elementen der Menge geschrieben werden kann – und im Jahr 2013 zeigte Kiss und zwei davon seine Kollegen bewiesen die Vermutung für eine asymptotische Basis der Ordnung 4. Zwei Jahre später führte der spanische Mathematiker Javier Cilleruelo diese Ergebnisse noch einen Schritt weiter, indem er bewies, dass es möglich ist, eine Sidon-Menge zu konstruieren, die eine asymptotische Basis der Ordnung 3 + e ist, Dies bedeutet, dass jede ausreichend große ganze Zahl N als Summe von vier Mitgliedern der Sidon-Menge geschrieben werden kann, wobei eines davon kleiner als Ne für beliebig kleine positive e ist.

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„Man braucht ein Verständnis von Primzahlen, das über alles hinausgeht, was wir haben“, sagte Cédric Pilatte, ein Doktorand im ersten Jahr, der eine langjährige Vermutung von Erdős bestätigte. „Das war also nicht gut.“

Evan Nedyalkov

Diese Erkenntnisse wurden mithilfe von Variationen einer von Erdős entwickelten probabilistischen Methode gewonnen, bei der eine zufällige Menge ganzer Zahlen generiert und leicht angepasst wird, um eine Menge zu erstellen, die beide Eigenschaften erfüllt.

Pilatte erkannte, dass die probabilistische Methode bis zum Äußersten ausgeweitet worden war. „Mit probabilistischen Methoden kann man eine Basis der Ordnung 4 erhalten, aber keine Basis der Ordnung 3“, sagte er. „Es scheitert einfach.“

Also schlug Pilatte einen anderen Weg ein und wandte sich stattdessen einem Verfahren zu, das die Logarithmen von Primzahlen als Bausteine ​​der Sidon-Mengen verwendet. Dieser von den ungarischen Zahlentheoretikern Imre Ruzsa und Cilleruelo entwickelte Ansatz liefert größere und dichtere Sidon-Mengen als die probabilistische Methode, die Pilatte benötigte, um eine Basis niedriger Ordnung zu schaffen, die auch der Sidon-Eigenschaft gehorchte. Aber die Methode erforderte eine Fähigkeit mit Primzahlen, die selbst den weltweit führenden Experten fehlte. „Sie benötigen ein Verständnis der Primzahlen, das über alles hinausgeht, was wir haben“, sagte Pilatte. „Das war also nicht gut.“

Die Suche nach einer Lösung führte Pilatte in eine unerwartete Richtung, weg von der additiven Zahlentheorie und hin zur Welt der algebraischen Geometrie, einem Zweig der Mathematik, der die Beziehung zwischen geometrischen Formen wie Kurven und Flächen und den Gleichungen, die sie definieren, untersucht. Pilatte nutzte eine Idee von Cilleruelo und ersetzte zunächst Zahlen durch Polynome, was das Problem sofort handhabbarer machte.

Ein Polynom ist ein algebraischer Ausdruck, der aus einer Summe von Termen besteht, von denen jeder ein Produkt eines konstanten Koeffizienten und einer oder mehrerer Variablen ist, die auf nichtnegative ganzzahlige Potenzen erhöht sind. Die Terme können durch Addition, Subtraktion und Multiplikation kombiniert werden. Beispielsweise ist 3x2 + 22x + 35 ein Polynom mit drei Termen. Ein Polynom zu faktorisieren bedeutet, es in ein Produkt anderer, einfacherer Polynome zu zerlegen. In diesem Beispiel ist 3x2 + 22x + 35 = (x + 5)(3x + 7). Ein irreduzibles Polynom – eines, das nicht faktorisiert werden kann – ist das Analogon einer Primzahl.

Der Austausch von Ganzzahlen gegen Variablen und Koeffizienten mag seltsam klingen, aber sie haben mehr gemeinsam, als Sie vielleicht denken. „Es stellt sich heraus, dass sich Polynome sehr ähnlich wie die ganzen Zahlen verhalten“, sagte Pilattes Oxford-Kollege Thomas Bloom. „Ich kann sie addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren.“ Und in mancher Hinsicht verstehen Mathematiker Polynome weitaus besser als Zahlen. „All diese Dinge, die für uns mit Primzahlen wie Science-Fiction klingen, sind in der Polynomwelt bekannt“, sagte Maynard.

Anhand eines aktuellen Ergebnisses des Mathematikers Will Sawin von der Columbia University zur Verteilung irreduzibler Polynome in arithmetischen Folgen konnte Pilatte eine Menge konstruieren, die genau das richtige Maß an Zufälligkeit und genau die richtige Zahlendichte aufwies, um Erdős' Einschränkungen zu erfüllen.

„Ich war extrem glücklich“, sagte Pilatte. „Ich schließe mich der Gruppe von Leuten hier an, die ein Erdős-Problem gelöst haben, und es macht Spaß.“

Was ihn aber am meisten begeistert, ist die überraschende Art und Weise, wie er zur Lösung gelangt ist. „Es ist cool, dass diese sehr tiefgreifenden Techniken aus der algebraischen Geometrie auch für diese einfache und konkrete Frage nach Zahlenmengen verwendet werden können“, sagte er.

Erdős Probleme haben ein unheimliches Talent dafür, Zusammenhänge zwischen vermeintlich voneinander unabhängigen Zweigen der Mathematik aufzudecken, und die Entdeckungen, die Mathematiker bei dem Versuch machen, sie zu beantworten, sind oft aussagekräftiger als die Antworten selbst. „Sie täuschen in ihrer Tiefe, und Cédrics Lösung ist ein großartiges Beispiel dafür“, sagte Bloom. „Ich bin sicher, Erdős wäre begeistert gewesen.“

Korrektur: 5. Juni 2023Dieser Artikel enthielt ursprünglich ein Beispiel für ein Sidon-Set, das eigentlich kein Sidon-Set ist. Dieses Beispiel wurde entfernt.

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5. Juni 2023

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