Das Verpacken von Geschenken mit fünf Orangen überlistet seit Generationen die besten Köpfe der Mathematik

Kugelförmige Objekte perfekt zusammenzuwickeln scheint trivial, aber es ist eine Aufgabe, die Mathematiker seit Jahrhunderten vor Herausforderungen stellt

„Früher bekamen wir Orangen nur geschenkt – und darüber haben wir uns gefreut!“ Diesen Satz hört man manchmal, wenn ein älterer Mensch die üppigen Geschenke kritisiert, die die Kinder von heute erhalten. Was sie selten erwähnen, ist die Geschenkverpackung. Nehmen wir an, Sie möchten fünf Orangen verschenken: Wie würden Sie die Früchte so arrangieren, dass sie möglichst wenig Platz und Geschenkpapier beanspruchen?

Wie sich herausstellt, steckt hinter dieser scheinbar harmlosen Frage eine Menge Mathematik. Schließlich hat es mehr als 400 Jahre gedauert, um zu beweisen, was Obsthändler seit jeher wissen: dass die optimale Stapelung unendlicher Kugeln im dreidimensionalen Raum durch die Anordnung in Pyramidenform erreicht wird. Eine verifizierte Lösung dieses Rätsels, bekannt als Keplers Vermutung, wurde erst 2017 veröffentlicht. Die Situation ist jedoch ganz anders, wenn man nur eine endliche Anzahl von Objekten betrachtet.

Erstaunlicherweise beschäftigten sich Mathematiker erst im späten 19. Jahrhundert mit der letztgenannten Art von Problem. Der norwegische Geometer Axel Thue untersuchte 1892 als erster die optimale Anordnung endlich vieler zweidimensionaler Kreise. Wichtige Fortschritte auf diesem Gebiet folgten erst in den nächsten Jahrzehnten, als sich der ungarische Mathematiker László Fejes Tóth mit dem Thema befasste.

Um ein besseres Gefühl für das Problem zu bekommen, ist es hilfreich, zunächst einen vereinfachten zweidimensionalen Fall zu betrachten. Wir können beispielsweise versuchen, mehrere Münzen gleicher Größe möglichst platzsparend anzuordnen. Dazu umreißen wir sie mit einem Stück Schnur, das wir straff zusammenziehen, und berechnen die Fläche, die die Schnur umschließt. Für n = 2 Münzen ist die optimale Anordnung schnell gefunden: Wir legen sie so ab, dass sie sich berühren. Die kürzeste Kette, die beide Münzen mit Radius r umschließt, hat dann die Länge (4 + 2π)r.

Diese Länge berechnet man am besten abschnittsweise: Man addiert den geraden Teil der Schnur (4 xr) plus die runden Flächen, die insgesamt einen Kreis umschließen (2πr). Der String umfasst eine Gesamtfläche von (4 + π)r2. In diesem Fall gibt es offensichtlich keine platzsparendere Möglichkeit, die Münzen anzuordnen.

Hat man hingegen drei Münzen zur Verfügung, ergeben sich plötzlich zwei unterschiedliche Anordnungen, die platzsparend erscheinen: Man reiht sie entweder nebeneinander auf oder platziert sie an den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks. Im ersten Fall hätte die Schnur eine Wurstform, weshalb man in der Mathematik von einer „Wurstpackung“ spricht. Den zweiten Fall nennen Experten eine „Pizza“-Packung. Doch welche Anordnung ist platzsparender: Wurstverpackung oder Pizzaverpackung?

Wie sich herausstellt, ist die Pizzapackung besser. Die Länge dieser Saite beträgt (6 + 2π)r, und die abgedeckte Fläche beträgt entsprechend (6 + √ 3 + π)r2, während die Saite der Wurstpackung (8 + 2π)r lang ist und eine Fläche von ( 8 + π)r2. Bei genauem Hinsehen erkennt man diesen Unterschied auch direkt auf den Bildern. Die Zwischenräume zwischen den Münzen sind bei der Wurstanordnung größer als bei der Pizzapackung.

Tatsächlich kann eine allgemeine Formel für die erforderliche Länge der Saite und den begrenzten Bereich angegeben werden. Wenn man n Münzen wurstförmig anordnet, benötigt man eine Kette der Länge 4(n – 1 + 2π)r, die eine Fläche von 4(n – 1)r2 + πr2 einschließt. Wenn die Münzen hingegen entlang eines dreieckigen Gitters angeordnet sind, dessen Form möglichst einem regelmäßigen Sechseck ähnelt, ist lediglich eine Kette der Länge 2(n + π)r erforderlich, die eine Fläche von (2n + √) einschließt 3(n – 2) + π)r2.

Somit haben wir gezeigt, dass die Pizzapackung für eine beliebige Anzahl von n Kreisen platzeffizienter ist als die Wurstform. Aber ist es wirklich immer optimal? Das festzustellen ist eine viel schwierigere Aufgabe. Schließlich könnte es zu einer völlig chaotischen Anordnung von Kreisen kommen, die noch weniger Fläche einnimmt. Die Beseitigung solcher Fälle erweist sich als äußerst schwierig. Hier kommt der ungarische Mathematiker László Fejes Tóth ins Spiel. 1975 vermutete er, dass die optimale Packung von n Kreisen eine Anordnung in einem Dreiecksgitter ist, die die Form eines möglichst regelmäßigen Sechsecks bildet.

Im Jahr 2011 konnte der Mathematiker Dominik Kenn zeigen, dass diese Idee für nahezu alle Werte von n gilt. Und tatsächlich konnte auch der Grenzfall bewiesen werden, bei dem man eine unendliche Ebene mit unendlich vielen Münzen bedeckt. Im Jahr 1773 fand der Physiker und Mathematiker Joseph Louis Lagrange heraus, dass die Anordnung entlang eines Dreiecksgitters optimal ist – solange man nur geordnete Packungen berücksichtigt. Erst 1940 zeigte Fejes Tóth schließlich, dass diese Lösung auch raumeffizienter ist als jede chaotische Anordnung von Kreisen.

Aber was ist mit Kugeln? Es wird wahrscheinlich nicht überraschen, dass der dreidimensionale Fall noch mehr Fragen aufwirft als die optimale Kreispackung in der zweidimensionalen Welt. Wir haben zumindest einen Anhaltspunkt für den Anfang: Keplers Vermutung besagt, dass unendlich viele identische Kugeln den dreidimensionalen Raum am besten ausfüllen, wenn man sie wie Kanonenkugeln stapelt. Im ersten Level ordnet man sie wie Münzen im zweidimensionalen Fall entlang eines Dreiecksgitters an und im zweiten Level platziert man in jede Lücke eine Kugel. Die dritte Ebene ist dann wieder identisch mit der ersten und so weiter. (Mit anderen Worten, diese Kugeln sehen aus wie die Pyramidenstapel von Orangen im Supermarkt.)

Wenn wir jedoch nur endlich viele Sphären betrachten, sieht die Situation ganz anders aus. Jetzt sind wir wieder beim Beispiel der in Geschenkpapier eingewickelten Orangen. Wenn Sie nur eine oder zwei Orangen haben, ist sofort klar, wie Sie diese optimal anordnen. Wenn Sie drei haben, ist die Aufgabe komplizierter. Sie können sie in einer Reihe anordnen (Wurstpackung) oder wie zuvor ein Dreieck daraus bilden (Pizzapackung). Die Situation ist ähnlich wie bei den drei Münzen, nur dass es sich um Kugeln handelt. Um herauszufinden, welche Packung in diesem Fall am platzsparendsten ist, können Sie die Volumina der Arrangements vergleichen.

Zu Beginn hilft es, die Kugelhülle noch einmal in einzelne geometrische Formen zu zerlegen und deren Volumina zu addieren. Bei der Wurstpackung ist das ganz einfach: Die Form lässt sich in einen Zylinder und eine Kugel unterteilen, die ein Gesamtvolumen von 16⁄3π r3 ≈ 16,76r3 haben. Die Pizzapackung ist etwas komplizierter. Sie erhalten drei Halbzylinder, ein dreieckiges Prisma und eine Kugel, deren Gesamtvolumen 13⁄3πr3 + 2√ 3r3 ≈ 17,08r3 beträgt. In diesem Fall ist die Wurstpackung also deutlich platzsparender. Und wie sich herausstellt, lässt sich das Wurstarrangement wirklich optimal verpacken.

Wenn man eine weitere Kugel hinzufügt, so dass n = 4 ist, kann man drei verschiedene Anordnungen unterscheiden. Auch hier können Sie Kugeln oder Orangen aneinanderreihen (Wurst) oder in der Ebene verteilen (Pizza). Sie können aber auch alle drei Raumdimensionen nutzen und diese stapeln, eine Anordnung, die man „Cluster“-Packung nennt. Auch bei vier Kugeln lässt sich nachweisen, dass die Wurstpackung optimal ist, da sie das geringste Volumen benötigt.

Mit mehr Kugeln wird es jedoch komplizierter. Mathematiker haben vermutet, dass die Wurstpackung für bis zu n = 55 Kugeln optimal ist. Doch 1992 stellten die Mathematiker Jörg Wills und Pier Mario Gandini fest, dass ein Cluster-Pack mehr Platz für 56 Kugeln spart. Wie dieser Cluster genau aussieht, ist jedoch unklar. Die Mathematiker konnten für die Kugeln eine bessere Anordnung als die Wurstpackung finden – aber nicht nachweisen, dass sie optimal war. Möglicherweise gibt es eine andere Anordnung, die noch weniger Volumen einnimmt.

Der abrupte Übergang von einer geordneten, eindimensionalen Kette zu einem dreidimensionalen Cluster wird in Fachkreisen als „Wurstkatastrophe“ bezeichnet. Wills und Gandini haben nachgewiesen, dass auch Arrangements mit 59, 60, 61 oder 62 Kugeln sowie alle Kollektionen mit mindestens 65 Kugeln optimal einen Cluster bilden. Für alle anderen Mengen, also wenn n kleiner als 56 ist oder 57, 58, 63 oder 64 beträgt, scheint die Wurstpackung optimal zu sein. Das heißt, bei bis zu 55 Kugeln ist vermutlich die Wurstpackung optimal, bei 56 Kugeln ist eine Clusterpackung am besten und bei 57 oder 58 Kugeln wäre wiederum eine Wurst die platzsparendste Anordnung. Mit 59, 60 oder 61 Kugeln sind wir wieder beim Cluster.

Diese Antwort scheint nicht besonders intuitiv zu sein. Und niemand konnte es zweifelsfrei beweisen.

Mathematiker wären keine Mathematiker, wenn sie bei drei Dimensionen aufhören würden. Wie sieht also die optimale Packung von n vierdimensionalen Kugeln im vierdimensionalen Raum aus? In höheren Dimensionen, dargestellt als d, wird zwischen Wurstpackungen (einer eindimensionalen Kette), Clusterpackungen (einer Ansammlung von Kugeln im gesamten d-dimensionalen Raum) und Pizzapackungen unterschieden. Letzteres stellt eine Art Übergang zu den beiden anderen Fällen dar: Es umfasst alle Situationen, in denen die Kugeln in mehr als einer und weniger als d Dimensionen verteilt sind.

Wie sich herausstellt, scheint es auch in vier Dimensionen zu einer Wurstkatastrophe zu kommen, allerdings viel später als im dreidimensionalen Fall. Gandini und seine Kollegin Andreana Zucco haben 1992 bewiesen, dass bei d = 4 die Clusterpackung platzsparender ist als die Wurstpackung, wenn man mindestens n = 375.769 Kugeln hat.

Und was ist mit der Pizza? Wills und die Mathematiker Ulrich Betke und Peter Gritzmann zeigten 1982, dass eine Pizza in drei und vier Dimensionen nie die optimale Verpackung ist. Die Kugeln füllen entweder den gesamten Raum aus (Cluster) oder bilden eine Linie (Wurst). Nur diese beiden Extremfälle können eine optimale Packungsanordnung ergeben.

1975 äußerte Fejes Tóth seine mittlerweile berühmte „Wurst-Vermutung“ für höhere Dimensionen. Ihm zufolge ist die Wurstpackung optimal für jede endliche Anzahl von Kugeln in fünf oder mehr Dimensionen. Auch wenn diese Vermutung noch nicht endgültig bewiesen ist, konnten Betke und sein Kollege Martin Henk 1998 zeigen, dass die Wurstvermutung in Raumdimensionen von 42 und mehr gilt.

Kurz gesagt: Wenn Sie zu Weihnachten 42-dimensionale Orangen verschenken würden, wäre es am besten, sie in einer Reihe anzuordnen. Und wenn Sie, wie in der ursprünglichen Frage, nur fünf dieser dreidimensionalen Früchte verschenken würden, dann wäre eine Verpackung im Wurststil perfekt.

Stellen Sie sich nun vor, wie kompliziert die Aufgabe wird, wenn Sie keine Orangen, sondern Dinosaurierfiguren oder Puppen einpacken möchten. Das Verpacken von Geschenken ist eindeutig ein Reich voller mathematischer Rätsel.

Dieser Artikel erschien ursprünglich im Spektrum der Wissenschaft und wurde mit Genehmigung reproduziert.

Manon Bischoff ist theoretischer Physiker und Herausgeber bei Spektrum, einer Partnerpublikation von Scientific American. Bildnachweis: Nick Higgins

Manon Bischoff

Meghan Bartels

Saima May Sidik

Meghan Bartels

Kate Wong

Daniel Cusick und E&E News