Eine geometrische Form, die sich beim Fliesenlegen nicht wiederholt

Bericht vom 23. März 2023

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von Bob Yirka, Phys.org

Ein Quartett von Mathematikern der Yorkshire University, der University of Cambridge, der University of Waterloo und der University of Arkansas hat eine zweidimensionale geometrische Form entdeckt, die sich beim Kacheln nicht wiederholt. David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig Kaplan und Chaim Goodman-Strauss haben einen Artikel geschrieben, in dem sie beschreiben, wie sie die einzigartige Form und mögliche Verwendungsmöglichkeiten dafür entdeckten. Ihr vollständiger Artikel ist auf dem arXiv-Preprint-Server verfügbar.

Wenn Menschen ihre Böden verfliesen, verwenden sie in der Regel einfache geometrische Formen, die sich für sich wiederholende Muster eignen, wie Quadrate oder Dreiecke. Manchmal möchte man zwar Muster, die sich nicht wiederholen, aber das stellt eine Herausforderung dar, wenn die gleichen Formentypen verwendet werden. Bei diesem neuen Versuch hat das Forschungsteam eine einzelne geometrische Form entdeckt, die, wenn sie zum Kacheln verwendet wird, keine sich wiederholenden Muster erzeugt.

In ihrem Szenario stellten die Forscher fest, dass sich Kacheln auf das Zusammenfügen von Formen bezieht, sodass keine Überlappungen oder Lücken entstehen. Kacheln ohne sich wiederholende Muster werden als aperiodische Kacheln bezeichnet und im Allgemeinen durch die Verwendung mehrerer Kachelformen erreicht. Seit vielen Jahren beschäftigen sich Mathematiker mit der Idee, Formen zu schaffen, die beim Kacheln eine unendliche Vielfalt an Mustern erzeugen könnten.

Einer der ersten Versuche führte zu einem Satz von 20.426 Kacheln. Darauf folgte im Jahr 1974 die Entwicklung der Penrose-Fliesen, die in Sätzen aus zwei unterschiedlich geformten Rauten erhältlich sind. Seitdem haben Mathematiker weiter nach der sogenannten „Einstein“-Form gesucht – einer einzelnen Form, die ganz allein für aperiodische Kacheln verwendet werden könnte.

Bemerkenswert ist, dass der Name von der deutschen Phrase „one stone“ stammt und nicht vom berühmten Physiker. Bei diesem neuen Versuch behauptet die Forschungsgruppe, die schwer fassbare Einstein-Form gefunden und mathematisch bewiesen zu haben.

Die Form hat 13 Seiten und das Team bezeichnet sie einfach als „den Hut“. Sie fanden es heraus, indem sie zunächst die Möglichkeiten mithilfe eines Computers reduzierten und dann die resultierenden kleineren Sets von Hand untersuchten. Sobald sie das hatten, was sie für eine gute Möglichkeit hielten, testeten sie es mit einem kombinatorischen Softwareprogramm – und bewiesen anschließend mithilfe eines geometrischen Inkommensurabilitätsarguments, dass die Form aperiodisch war. Abschließend weisen die Forscher darauf hin, dass die wahrscheinlichste Anwendung des Hutes in der Kunst liegt.

Mehr Informationen: David Smith et al., Ein aperiodisches Monotil, arXiv (2023). DOI: 10.48550/arxiv.2303.10798

Zeitschrifteninformationen:arXiv

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